Đáp án A.

Hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu đều có hoành độ dương

Đạo hàm  y’ = 3x²+6x+m. Ta có  ∆ ' y ' = 9 - 3 m

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi  ∆ ' y ' = 9 - 3 m > 0 ⇔ m < 3  

Ta có 

Gọi x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó 

Theo định lí Viet, ta có 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y₁.y₂<0

Chọn C.

Chọn D

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + m - 1

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương

Hai điểm cực trị có hoành độ dương

Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1

Chọn A

[Phương pháp trắc nghiệm]

y ' = 3 x 2 - 6 x - m

Hàm số có 2 cực trị m > -3 , gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y ' = 0 ,

ta có:  x 1 + x 2 = 2

Bấm máy tính

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Gọi I là trung điểm của AB

⇒ I ( 1 ; - m )

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

Yêu cầu bài toán

Kết hợp với điều kiện thì m = 0

Chọn B

PT hoành đồ giao điểm của (C) và trục hoành:

x3 + 3x2 + mx + m - 2 = 0     (1) 

(Cm)  có 2 điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox 

PT (1) có 3 nghiệm phân biệt 

 (2) có 2 nghiêm phân biệt khác -1 

Chọn A

 là tam thức bậc hai có ∆' = m2.

Do đó: y có cực đại cực tiểu ⇔ y’ có hai nghiệm phân biệt

⇔ g(x) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > 0 ⇔ m ≠ 0. (1)

Khi đó, y’ có các nghiệm là: 1 ± m

→ tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi :

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ  m = ± 1 2  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Đạo hàm y’ =  -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có ∆ ' = m 2 .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x)  =0  có hai nghiệm phân biệt

  ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ m ≠ 0 .                   (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có: 

O A → ( 1 - m ; - 2 - 2 m 3 ) ⇒ O A 2 = ( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 . O B → ( 1 + m ; - 2 + 2 m 3 ) ⇒ O B 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 .

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B  hay  OA²= OB²

( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 ⇔ - 4 m + 16 m 3 = 0

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m = ± 1 2   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu  bài toán.

Chọn  A.

Đáp án C

TXĐ: D = ℝ .

Ta có  y ' = 3 x 2 − 6 x + m .

Để hàm số f x  có ba điểm cực trị thì y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 0.

Vậy m=0 thỏa mãn đề bài.

Đáp án là B